14 de março não é um dia de Pi regular este ano. Entusiastas da matemática em todos os lugares estão celebrando o evento como Ultimate Pi Day, porque a data corresponderá aos primeiros cinco dígitos do pi (3, 1415), em vez de apenas os três primeiros. Esta confluência matemática não voltará por um século, em 14 de março de 2115.
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- O mundo está cheio de círculos
Definido como a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, pi ( π ) é tanto um número transcendental quanto irracional, o que significa que nunca pode ser escrito como a razão de dois números inteiros, e continua indefinidamente sem nenhum padrão repetitivo. Pi não é o único número irracional - há também o número de Euler (e) e a proporção áurea ( φ, ou phi), por exemplo. Mas continua a ser uma fonte de fascínio porque suas origens são facilmente explicáveis, diz Mario Livio, um astrofísico do Instituto de Ciência do Telescópio Espacial, em Maryland.
“Todo mundo pode entender como pi é derivado. Todos os outros números são mais complexos. O número phi, por exemplo, envolve uma divisão específica de uma linha, e o número e exige que você saiba o que é um logaritmo ”, diz Livio, autor do livro Is God a Mathematician?
Outra grande parte do apelo do pi é que ele tem um talento incomum para aparecer em fórmulas matemáticas, muitas das quais são importantes para os processos cotidianos desde o processamento da imagem até a navegação por GPS. Aqui está apenas uma pequena amostra das fórmulas comumente usadas que incluem pi:
A Transformada de Fourier
Batizada em homenagem ao matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier, essa ferramenta matemática decompõe um sinal em suas frequências componentes - mais ou menos como um acorde musical pode ser dividido em suas notas componentes. Em essência, as transformadas de Fourier são ideais para processar sinais baseados em ondas, como som ou luz, e encontrar padrões. Isso faz com que a transformada de Fourier seja uma ferramenta fundamental no mundo digital moderno.
“Tem sido chamado o algoritmo mais importante já desenvolvido pela humanidade. Agora isso pode ser uma hipérbole, mas talvez não seja ”, diz Glen Whitney, fundador e diretor do Museu Nacional de Matemática de Nova York. Transformadas de Fourier são usadas o tempo todo para limpar imagens digitais, para sintonizar estrelas pop e para encontrar planetas distantes orbitando outras estrelas. A ferramenta também é crucial para os recursos de voz para texto que agora são padrão nos smartphones. “Quando você usa o Siri ou o Google Now, um dos primeiros passos é pegar sua voz e fazer uma transformada de Fourier… acaba sendo muito mais fácil reconhecer as vogais quando você olha para as transformadas de Fourier do que quando olha para o sinais originais em si ”, diz Whitney.
(Ilustração de Victoria Jaggard) Pi aparece na transformada de Fourier porque uma das partes componentes, ou expressões, da fórmula é associada a seno e cosseno e os ângulos criados por uma partícula viajando ao redor de um círculo. "Sempre que você tiver uma fórmula que lide com círculos ou ângulos, não ficará surpreso quando o pi aparecer", diz Whitney.
Princípio da Incerteza de Heisenberg
Um dos pilares da mecânica quântica, o princípio da incerteza de Heisenberg afirma que um observador não pode conhecer simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula subatômica. Em vez disso, quanto mais precisamente a posição de uma partícula é conhecida, menos se pode saber sobre sua velocidade.
(Ilustração de Victoria Jaggard) A aparência do pi no princípio da incerteza de Heisenberg faz sentido quando você percebe que na fórmula, a posição e o momento são transformações de Fourier um do outro, diz Whitney. O princípio da incerteza é importante no mundo moderno porque descreve o comportamento das partículas de luz, ou fótons, nos sistemas de comunicação por fibra ótica. “O que nos diz é que não podemos conhecer tanto a posição quanto o momento dos fótons com extrema precisão. Você não pode projetar protocolos de comunicação que violem o princípio da incerteza de Heisenberg, porque eles não funcionarão ”.
Lei de Stoke
A lei de Stoke calcula a força necessária para mover uma pequena esfera - isto é, um círculo tridimensional - através de um fluido viscoso a uma certa velocidade. Tem aplicações em áreas que vão desde as ciências da terra até a medicina.
(Ilustração de Victoria Jaggard) "A lei é especificamente sobre o efeito da viscosidade em uma esfera no fluido", diz Whitney, que é como pi entra em jogo. Quanto aos usos práticos da lei de Stoke, não procure mais do que o seu carro. "Por décadas, a forma como as empresas garantiam que o óleo do motor tinha a viscosidade certa para o seu carro era, literalmente, despejar uma série de esferas de teste no óleo e medir o tempo necessário para que elas caíssem no líquido", diz Whitney. Hoje, a maneira mais comum de medir a viscosidade do óleo envolve uma ferramenta chamada viscosímetro de tubo capilar, sem necessidade de esferas - mas ainda relata o resultado em unidades de medida chamadas centistokes.
Fórmula de Euler
Com o nome do matemático suíço Leonard Euler, a versão dessa fórmula que inclui pi reúne alguns dos números mais intrigantes da matemática em um só lugar:
(Ilustração de Victoria Jaggard) “Todo mundo acha isso incrível. Todos esses números que consideramos especiais aparecem em uma bela equação ”, diz Livio. Enquanto esta fórmula vigorosa pode inspirar admiração nos matemáticos, a forma mais útil da equação é um pouco mais longa:
(Ilustração de Victoria Jaggard) Esta versão descompactada da fórmula de Euler é uma ferramenta incrível, diz Whitney. Por exemplo, é importante projetar eletrônicos que usam corrente alternada ou CA. "A fórmula de Euler na forma expandida significa que você pode usar números complexos ou imaginários para analisar e projetar circuitos CA", diz Whitney. Isso porque, em um circuito de corrente alternada, a voltagem é uma quantidade que oscila com o tempo - normalmente 60 vezes por segundo, por exemplo, no fornecimento elétrico padrão dos EUA. "A versão completa da fórmula de Euler ensina como podemos usar números complexos como uma abreviação conveniente para modelar fenômenos oscilantes", diz Whitney.
Equações de campo de Einstein
Um componente central de sua teoria geral da relatividade, as equações de campo de Albert Einstein descrevem como a gravidade da massa e da energia cria a curvatura do espaço-tempo.
(Ilustração de Victoria Jaggard) "Descrever que a curvatura envolve a geometria e, como a definição original de pi vem da geometria, sua aparência nesta equação não é tão surpreendente", diz Livio. Além de revelar uma verdade fundamental sobre como o universo funciona, a relatividade geral tem muitas aplicações práticas. Por exemplo, os satélites que compõem o Sistema de Posicionamento Global usado para navegação estariam irremediavelmente fora de sincronia um com o outro se os engenheiros não levassem em conta os efeitos de dilatação de tempo previstos pela teoria.
