Você provavelmente encontrou objetos unilaterais centenas de vezes em sua vida diária - como o símbolo universal para reciclagem, encontrado impresso nas costas de latas de alumínio e garrafas plásticas.
Esse objeto matemático é chamado de faixa de Mobius. Ela fascinou ambientalistas, artistas, engenheiros, matemáticos e muitos outros desde sua descoberta em 1858 por August Möbius, um matemático alemão que morreu há 150 anos, em 26 de setembro de 1868.
Möbius descobriu a tira unilateral em 1858 enquanto servia de cadeira de astronomia e mecânica superior na Universidade de Leipzig. (Outro matemático chamado Listing realmente descreveu alguns meses antes, mas não publicou seu trabalho até 1861.) Möbius parece ter encontrado a faixa de Möbius enquanto trabalhava na teoria geométrica do poliedro, figuras sólidas compostas de vértices, arestas e faces planas. .
Uma faixa de Möbius pode ser criada pegando uma tira de papel, dando-lhe um número ímpar de meias torções, e então colando as pontas de volta para formar um laço. Se você pegar um lápis e desenhar uma linha ao longo do centro da tira, verá que a linha aparentemente corre ao longo dos dois lados do laço.
O conceito de um objeto unilateral inspirou artistas como o designer gráfico holandês MC Escher, cuja xilogravura “Möbius Strip II” mostra formigas vermelhas rastejando uma após a outra ao longo de uma faixa de Möbius.
A faixa de Möbius tem mais do que apenas uma propriedade surpreendente. Por exemplo, tente pegar uma tesoura e cortar a tira ao meio ao longo da linha que você acabou de desenhar. Você pode ficar surpreso ao descobrir que não ficou com duas tiras menores de um lado do Möbius, mas sim com um longo laço de dois lados. Se você não tiver um pedaço de papel à mão, a xilogravura de Escher “Möbius Strip I” mostra o que acontece quando uma tira de Möbius é cortada ao longo de sua linha central.
Enquanto a tira certamente tem apelo visual, seu maior impacto tem sido na matemática, onde ajudou a estimular o desenvolvimento de um campo inteiro chamado topologia.
Um topologista estuda propriedades de objetos que são preservados quando movidos, dobrados, esticados ou torcidos, sem cortar ou colar peças juntos. Por exemplo, um par emaranhado de fones de ouvido é, em um sentido topológico, o mesmo que um par desembaraçado de fones de ouvido, porque trocar um para o outro requer apenas movimento, flexão e torção. Nenhum corte ou colagem é necessário para transformar entre eles.
Outro par de objetos que são topologicamente iguais são uma xícara de café e um donut. Como os dois objetos têm apenas um buraco, um pode ser deformado no outro apenas alongando e dobrando.
Uma caneca se transforma em um donut. (Wikimedia Commons) O número de furos em um objeto é uma propriedade que pode ser alterada somente por corte ou colagem. Essa propriedade - chamada de "gênero" de um objeto - nos permite dizer que um par de fones de ouvido e um anel são topologicamente diferentes, já que um donut tem um buraco, enquanto um par de fones de ouvido não tem buracos.
Infelizmente, uma tira de Möbius e um loop de dois lados, como uma pulseira de consciência de silicone típica, ambos parecem ter um buraco, portanto essa propriedade é insuficiente para distingui-los - pelo menos do ponto de vista de um topólogo.
Em vez disso, a propriedade que distingue uma faixa de Möbius de um loop de dois lados é chamada de orientabilidade. Como seu número de furos, a orientação de um objeto só pode ser alterada através de corte ou colagem.
Imagine escrever-se uma nota em uma superfície transparente, depois dar uma volta nessa superfície. A superfície é orientável se, quando você voltar da sua caminhada, você sempre pode ler a nota. Em uma superfície não orientável, você pode voltar de sua caminhada apenas para descobrir que as palavras que você escreveu aparentemente se transformaram em sua imagem espelhada e podem ser lidas apenas da direita para a esquerda. No loop de dois lados, a nota sempre será lida da esquerda para a direita, independentemente de onde sua jornada o levou.
Como a faixa de Möbius não é orientável, enquanto a malha de dois lados é orientável, isso significa que a tira de Möbius e a alça de dois lados são topologicamente diferentes.
(Criado por David Gunderman) Quando o GIF começa, os pontos listados no sentido horário são preto, azul e vermelho. No entanto, podemos mover a configuração de três pontos ao redor da faixa de Möbius de forma que a figura esteja no mesmo local, mas as cores dos pontos listados fora no sentido horário agora são vermelhas, azuis e pretas. De alguma forma, a configuração se transformou em sua própria imagem espelhada, mas tudo o que fizemos foi movê-la pela superfície. Essa transformação é impossível em uma superfície orientável como o loop de dois lados.
O conceito de orientabilidade tem implicações importantes. Tome enantiômeros. Esses compostos químicos têm as mesmas estruturas químicas, exceto por uma diferença fundamental: são imagens espelhadas uma da outra. Por exemplo, o químico L-metanfetamina é um ingrediente do Vicks Vapor Inhalers. Sua imagem espelhada, D-metanfetamina, é uma droga ilegal de classe A. Se vivêssemos em um mundo não orientável, esses produtos químicos seriam indistinguíveis.
A descoberta de August Möbius abriu novas maneiras de estudar o mundo natural. O estudo da topologia continua a produzir resultados impressionantes. Por exemplo, no ano passado, a topologia levou os cientistas a descobrir novos e estranhos estados da matéria. A Medalha Fields deste ano, a mais alta distinção em matemática, foi concedida a Akshay Venkatesh, um matemático que ajudou a integrar a topologia com outros campos, como a teoria dos números.
Este artigo foi originalmente publicado no The Conversation.
David Gunderman, Ph.D. estudante em Matemática Aplicada, Universidade do Colorado e Richard Gunderman, Professor de Medicina, Artes Liberais e Filantropia do Chanceler, Universidade de Indiana
