Quando a maioria de nós vê uma máquina que puxa o puxão para fora, em um calçadão turístico, pensamos em açúcar doce e doce. Jean-Luc Thiffeault pensa em matemática doce e doce. Como matemática aplicada na Universidade de Wisconsin-Madison, Thiffeault está particularmente interessada na maneira como materiais como o taffy se misturam: na máquina, o doce é esticado e dobrado para incorporar o ar e desenvolver sua textura leve e mastigável. Ao ser puxado, o retângulo original de caramelo fica cada vez mais esticado - seu comprimento cresce exponencialmente pela mesma proporção a cada vez. Essa proporção de alongamento é o que interessa à Thiffeault.
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Quando uma pessoa puxa taffy, eles geralmente pegam o pedaço de doce e o esticam sobre um gancho, juntando as duas pontas. Então eles pegam a peça dobrada e a esticam novamente, dobrando o comprimento e assim por diante. Em outras palavras, “o modo humano de fazer isso é um fator de multiplicação de 2”, diz Thiffeault. Os puxadores mecânicos podem fazer melhor, muitas vezes produzindo números irracionais maiores e exóticos como seus fatores de alongamento.
Acontece que o puxar do puxão pode ser modelado por um campo abstrato da matemática conhecido como dinâmica topológica, essencialmente o estudo de mudanças de longo prazo, em larga escala, ao longo do tempo em um espaço matemático. (Se a palavra topológica soa familiar, ela apareceu recentemente nos noticiários como parte do Prêmio Nobel de Física deste ano.) A mesma matemática que descreve o puxar de taffy também tem aplicações mais sérias: muitos processos industriais, incluindo sopro de vidro e preparo de drogas, fluidos viscosos devem ser misturados de maneiras que são mais como puxar o creme de leite do que misturar o creme no café. "Se você está tentando mexer com coisas realmente viscosas, como pastas da indústria farmacêutica, não pode simplesmente abaná-las", diz Thiffeault. "Não é como misturar tinta."
Thiffeault entendeu que o puxar com a taffy como um exemplo de mistura viscosa por um longo tempo, mas só recentemente ele examinou a história dos puxadores para descobrir seus segredos matemáticos. O resultado dessa excursão em patentes históricas é seu recente artigo “Uma história matemática de puxadores de taffy”, publicado no arXiv do servidor preprint em julho.
Uma imagem de uma patente de máquina taffy de 1916 que aparece no estudo de Thiffeault. Especificamente, a área que levou ao mergulho profundo com puxador de taffy é o estudo dos chamados mapeamentos pseudo-anosov. Pseudo-Anosov é uma maneira sofisticada de descrever um processo no qual uma forma bidimensional é esticada exponencialmente em uma direção enquanto ela se encolhe na outra. Matematicamente, o estudo dos mapeamentos de pseudo-anosov é relativamente novo. "Nos anos 70 e 80, as pessoas estavam se esforçando muito para encontrar exemplos", diz Thiffeault. Ironicamente, eles estavam lá todo o tempo em patentes para puxadores de taffy. "Porque os matemáticos nunca olhavam para essa literatura, eles nunca saberiam que existiam", diz ele.
Enquanto ele vasculhava as patentes de puxadores de taffy, Thiffeault tropeçou em uma batalha legal que foi até a Suprema Corte. Em questão no caso de 1921, Hildreth vs. Mastoras era o quanto uma obra de patente de 1900 para um extrator de taffy deveria ser interpretada de maneira ampla. Ou seja: um modelo posterior feito por outra pessoa era apenas uma melhoria menor ou era um dispositivo diferente? Uma parte crucial do argumento era o quão diferente a patente de 1900 era de um antecessor de 1893 (que provavelmente nunca foi fabricado). A opinião do tribunal, de autoria do presidente do Supremo Tribunal, William Howard Taft, "mostra uma compreensão profunda da dinâmica topológica", escreve Thiffeault em seu artigo.
O tribunal reconheceu que o dispositivo anterior - que tinha apenas dois ganchos - não poderia ter esticado o taffy ao grau exponencial necessário para a criação eficiente de confecção. A opinião de Taft afirma:
Com apenas dois ganchos não poderia haver lapidação do doce, porque não havia um terceiro pino para engatar novamente o doce enquanto ele estava preso entre os outros dois pinos. O movimento dos dois pinos em círculos concêntricos pode esticá-lo um pouco e agitá-lo, mas não o puxaria no sentido da arte.
Thiffeault escreve: “A opinião da Suprema Corte mostra a percepção fundamental de que pelo menos três bastões são necessários para produzir algum tipo de crescimento rápido”.
Thiffeault diz que há dois puxadores de taffy em uso atualmente, um com três hastes e outro com quatro. Eles acontecem ter o mesmo fator de estiramento. Está relacionado com a chamada relação prata, 1+, 2, ou cerca de 2.414, um primo ligeiramente menos luminoso da proporção áurea mais famosa.
O fato de os dois puxadores de taffy se alongarem com a proporção de prata é interessante porque a proporção de prata é - em um sentido matemático preciso - ideal. No entanto, Thiffeault adverte que não é tão fácil classificar diferentes puxadores de caramelo, mesmo quando você conhece seus fatores de alongamento: "Há um aspecto de maçãs e laranjas que é bastante difícil de se locomover", diz ele. Um puxador pode ter mais hastes e levar mais tempo para retornar ao seu estado inicial do que outro, ou pode exigir mais torque ou engrenagem mais complicada. Portanto, embora a matemática dê uma ideia de como os puxadores puxam, isso não conta a história completa.
A pesquisa da Thiffeault sobre puxadores de taffy inspirou ele e seu estudante de graduação Alex Flanagan a construir seu próprio modelo. Eles queriam ver se poderiam aumentar a eficiência sem modificar muito as engrenagens, e acabaram criando um novo extrator de 6 hastes baseado na engrenagem do extrator padrão de 4 hastes. "A razão pela qual fomos capazes de fazer isso é que temos matemática agora", diz Thiffeault. Eles poderiam modelar a máquina extensivamente no computador e ignorar muito da tentativa e erro com dispositivos físicos reais que os inventores anteriores tinham que fazer. O dispositivo de 6 hastes, que ainda é apenas um protótipo, estica duas vezes mais do que os puxadores padrão em cada ciclo.
Até agora, os fabricantes de puxadores de taffy não estavam exatamente batendo na porta de Thiffeault para obter seus conselhos sobre como otimizar seus projetos - a Big Taffy aparentemente está satisfeita com seu status quo -, mas ele espera que seus métodos tenham efeitos em outras indústrias. Além do glassblowing, um lugar lógico para a otimização da mistura é a indústria farmacêutica. Afinal, a mistura de vitaminas e drogas requer um controle de qualidade extremamente alto: os fabricantes estão "dispostos a pagar muito dinheiro por uma mistura perfeita" porque "não toleram um multivitamínico ruim de 1000", diz Thiffeault. Então, algum dia, os farmacêuticos podem estar fazendo um doce discurso aos devotos puxadores de caramelo de outrora.
Então, novamente, isso pode ser um pouco exagerado.
