Então, você está vivendo sua vida, contente em saber como o mundo funciona: acima, abaixo, abaixo, o Sol nasce no leste e se põe no oeste. Então, do nada, um grupo de matemáticos tenta dizer a você que a soma de todos os inteiros positivos, isto é, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... e assim por diante até o infinito é igual a .. -1/12.
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Bem, isso é claramente ridículo, certo? Como os números cada vez maiores, quando somados, podem formar um pequeno número? Como os números inteiros podem fazer uma fração? Como os números positivos podem ser negativos?
Então você assiste ao resto do vídeo (acima), feito pela Numberphile, um monte de contas de matemática com um canal do YouTube popular (e geralmente confiável) sobre matemática. (Cuidado. Vale a pena. Vamos esperar.) A prova deles parece sólida. Um bando de pessoas realmente espertas, do astrônomo Phil Plait ao pessoal da Physics Central, dobrou a demanda. "Acontece que as conclusões que eles tiram nesse vídeo estão literalmente corretas. Você pode adicionar uma série infinita de números positivos, e eles vão adicionar até uma fração negativa", disse Plait.
Então é isso, certo? A matemática não faz sentido e o mundo é estranho.
Mas esse não é o fim da história.
Um segundo grupo de pessoas com inclinação matemática, incluindo a blogger científica americana Evelyn Lamb e o físico Greg Gbur, mostrou que, embora a soma de todos os números positivos possa ser equivalente a -1/12 (o resultado é que eles Explicar, é usado o tempo todo na resolução precisa de problemas de física), esta resposta alucinante realmente só funciona se você redefinir totalmente alguns conceitos fundamentais da matemática.
Phil Plait e a equipe da Central de Física finalmente apareceram, e foi o acompanhamento da Central de Física que mais nos ajudou a entender o dilema.
De acordo com a Physics Central, 1 + 2 + 3 + 4 +… só é igual a -1/12 porque os matemáticos redefiniram o sinal de igual. Neste estilo de matemática, chamado de continuação analítica, "=" parado significa "é igual a" e começou a significar "está associado a". Matemáticos complicados.
Esse truque matemático remonta, diz a Physics Central. Está no trabalho do pioneiro do matemático indiano Srinivasa Ramanujan, por exemplo:
Ramanujan é o culpado também. Afinal, como podemos entender o que ele estava tentando dizer aqui?
"Eu disse a ele que a soma de um número infinito de termos da série: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 sob minha teoria. Se eu lhe disser isso, você imediatamente me indicará o hospício como meu objetivo ".
-S Ramanujan em uma carta para GH Hardy
Deveríamos perceber que "sob minha teoria" significa que "=" não significa igual?
Não encontrei seu trabalho original, mas várias pessoas reproduziram um cálculo de Euler que usa um sinal de igual da mesma maneira. Se os dois lados não são iguais, então, pelo que me lembro da matemática do segundo ano, você não pode usar um sinal de igual.
Então, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 .... = -1/12? Sim, mas somente se, para você, um sinal de igualdade significar algo diferente de "é igual a".
Agora, isso não quer dizer que a equipe do Numberphile estava apenas brincando com nossas cabeças. O valor -1/12 pode ser comprovado de várias maneiras, e o resultado é certamente útil. Mas 1 + 2 + 3 + 4 + ... definitivamente não "iguala" -1/12 de qualquer forma que uma pessoa normalmente pensaria sobre isso.
O fato de a equipe da Numberphile ter dado um salto sem explicá-lo às pessoas, diz o físico Greg Gbur, é uma espécie de vergonha:
O vídeo faz parecer tão simples e incontroverso, quase óbvio. Mas há algumas grandes suposições matemáticas escondidas em seu argumento que, na minha opinião, tornam isso muito enganoso. Dito de outra maneira: em um sentido matemático restrito e especializado, pode-se atribuir o valor -1/12 à soma positiva crescente. Mas, no sentido usual de adição que a maioria dos seres humanos usaria intuitivamente, o resultado não faz sentido.
Para mim, essa é uma distinção importante: uma parte depressivamente grande da população assume automaticamente que a matemática é uma magia bizarra e não intuitiva que apenas os superinteligentes podem entender. Mostrar um resultado tão louco sem qualificação apenas reforça essa visão e, na minha opinião, presta um desserviço à matemática.
Nós nem sequer tentamos lidar com longas provas envolvidas em resolver este debate aqui, mas se você quiser mais, confira:
Correção: faz 1 + 2 + 3 + 4 +. . . = -1 / 12? Absolutamente não! Por Physics Central
Série infinita: não é tão estranho quanto alguns diriam por Greg Gbur
Follow-up: A Série Infinita e o Resultado Mental da Phil Plait
Faz 1 + 2 + 3… Realmente igual -1/12? de Evelyn Lamb
